EJERCICIO #1

LAS ANTENAS PARABÓLICAS 

Las antenas parabólicas, al igual que los radiotelescopios se rigen por el principio de la convergencia y divergencia de un haz de sonido. La dirección de este se representa mediante líneas que se denominan rayos y según la forma de la superficie en la que inciden, así será la dirección de los rayos reflejados. Cuando la forma de dicha superficie es parabólica todos los rayos que llegan paralelos al eje de la parábola se reflejan pasando por un mismo punto.

Ejemplo: 

Una antena parabólica con vértice en (1,4) concentra señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor ubicado en la posición (3,4). Halle su ecuación, la dirección del haz de sonido y grafique.

Solución:

Primer paso: La distancia a de (1,4) a (3,4)x es a= 2. Ya que el receptores encuentra a la derecha del vértice, la parábola se abre hacia la derecha así que su ecuación es: (y-k)^2= 4a(x-h) donde (h,k) = (1,4). Reemplazando:

 

Segundo paso: El vértice y el receptor se se encuentran sobre la línea horizontal y= 4 que es el eje de simetría. La dirección del haz de sonido es paralela a este.

Tercer paso: Finalmente graficamos.

EJERCICIO #2

Dada la ecuación y^2=16x. Halle las coordenadas del vértice, del foco, los puntos que definen el lado recto, la ecuación de la directriz y grafique.

Solución:

Primer paso: La ecuación es de la forma y^2=4ax, donde 4a=16, así que a=4. Por tal motivo la gráfica de la ecuación es una parábola con vértice en (0,0) y foco sobre el eje positivo en (4,0). La directriz es la línea vertical x=-4. Los dos puntos que definen el lado recto se obtienen haciendo que x=4. Entonces y^2=64 o y= 8. 

Segundo paso: Finalmente, graficamos.

EJERCICIO #3

Dada la ecuación x^2-2x-6y-5=0 halle las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz y grafique.

Solución: 

Primer paso: Se debe completar el cuadrado de los términos en x:

-Agrupando los términos en x del lado izquierdo.

-Completando el cuadrado en el lado izquierdo.

Esta ecuación es de la forma (x-h)^2=4a(y-k), con h=-1, k=1 y a=1,5.

La gráfica es una parábola con vértice en (h,k)= (-1,1) que se abre hacia arriba.

El foco está en (-1,1/2) y la directriz es la línea y=-1-3/2=-5/2

Segundo paso: Finalmente, graficamos.

EJERCICIO # 4

Dibujar la hipérbola cuya ecuación en su forma general es 9x^2-16x^2-144=0.

Solución:

Escribimos la ecuación de la forma simétrica. Para ello, pasamos al otro lado de la ecuación el término independiente.

Y dividimos entre el toda la ecuación:

Como el signo (-) está antes de y^2, la hipérbola es horizontal; a^2=16, b^2=9 y por tanto, 

 

Así que a=4,b=3 y c=5

Los focos son: F(5,0) y F'(-5,0)

Los vértices son: V(4,0) y V'(-4,0)

Podemos marcar ahora estos puntos. Dibujamos los triángulos de lados a,b y c y marcamos los vértices de dichos triángulos, es decir, (4,3), (4,-3), (-4,3) y (-4,3), ya que por hay pasan las asíntotas. Dibujamos estas ultimas.

Los extremos de los lados rectos están en

Unidades arriba y abajo de los focos, así que sus coordenadas son (5,-9/4), (5,9/4), (-5,-9/4), (-5,9/4)

Y ahora trazamos la hipérbola a partir de los vértice y acercándonos a las asíntotas, pasando por los extremos de los lados recto.

Segundo paso: Finalmente, graficamos.

Tomado de: Geometría analítica y trigonometría.

EJERCICIO #5

Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F(0,5) y F'(0,-5), tal que la diferencia de las distancias de sus puntos a los focos sea 2.

Solución: 

Primer paso: Los focos están sobre el eje Y, así que la hipérbola es vertical. Su centro es el punto medio de los focos, C(0,0). Las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es c=5. La diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es a=2, así que a=1, por lo que los vértices son V'(0,-1) y V'(0,1).

b^2=c^2-a^2=25-1=24.

Segundo paso: Graficamos.


Tomado de: Geometría analítica.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Una antena parabólica con vértice en (-2,2) concentra señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor ubicado en la posición (-2,5). Halle su ecuación, la dirección del haz de sonido y grafique.

2.  Dada la ecuación x^2-6y-8x+17=0 halle las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz y grafique.
3. Obtenga la ecuación de la hipérbola sabiendo que  C=(2,6); F=(2,3) y V=(2,4). Grafique.
4. Dada la ecuación y^2=24x. Halle las coordenadas del vértice, del foco, los puntos que definen el lado recto, la ecuación de la directriz y grafique.
5. Encuentre la ecuación de hipérbola cuyos vértice son V(0,2) y V'(0,-2) y sus focos son F(0,10) y F'(0,-10). Grafique.