LA PARÁBOLA VIDEO EXPLICATIVO

LA PARÁBOLA

La parábola se define como el conjunto de puntos en el plano cartesiano, los cuales equidistan de un punto fijo llamado foco y de una linea fija llamada directriz, que no contiene al foco.

Es el resultado de la intersección de un cono circular recto con un plano inclinado que interseca en solo una de las partes al cono.

Donde:

V= Vértice.

F= Foco.

P= Puntos sobre la parábola.

Direcriz= Línea que corta el plano en (0,-2).

Eje de simetría= Línea que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.

d (F,P)= Distancia de uno de los puntos a el foco.

d (P,D)= Distancia de uno de los puntos a la directriz.

Cumpliendo así:

d(F,P)= d(P,D)

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

VÉRTICE EN (0,0); FOCO SOBRE UN EJE ; a>0

 

VÉRTICE	FOCO	DIRECTRIZ	ECUACIÓN	DESCRIPCIÓN
(0,0)	(a,0)	x=-a	y^2=4ax	El eje de simetría es el eje y. Se abre hacia la derecha.
(0,0)	(-a,0)	X=a	y^2=-4ax	El eje de simetría es el eje y. Se abre hacia la izquierda.
(0,0)	(0,a)	y=-a	x^2= 4ay	El eje de simetría es el eje y. Se abre hacia arriba.
(0,0)	(0,-a)	y=a	x^2=-4ay	El eje de simetría es paralelo al eje x, se abre hacia la derecha.

 

 VÉRTICE EN (h,k), EJE DE SIMETRÍA PARALELO A UN EJE COORDENADO, a>0

VÉRTICE	FOCO	DIRECTRIZ	ECUACIÓN	DESCRIPCIÓN
(h,k)	(h+ak)	x=-a+h	(y-k)^2=4(x-h)	El eje de simetría es el eje x. Se abre hacia la derecha.
(h,k)	(h-ak)	X=a+h	(y-k)^2=-4a(x-h)	El eje de simetría es el eje x. Se abre hacia la izquierda.
(h,k)	(hk+a)	y=-a+k	(x-h)^2= 4a(y-k)	El eje de simetría es el eje y. Se abre hacia arriba.
(h,k)	(hk-a)	y=a+k	(x-h)^2=-4a(y-k)	El eje de simetría es paralelo al eje y, se abre hacia abajo

Tomado de: Trigonometría y geometría analítica. Cuarta edición. Michael Sullivan.

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LA HIPERBOLA

La hipérbola se define como un conjunto de puntos del plano cartesiano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Se obtiene a través de una curva que se genera cuando un plano interseca en dos partes un cono circular recto.

 Donde:

-Eje transversal: Línea que contiene los focos.

-Centro: Punto medio del segmento de la línea que une los focos.

-Eje conjugado: Línea que pasa por el centro y es perpendicular al eje transversal.

-Ramas: Dos curvas separadas que son simétricas respecto del eje transversal.

-Vértices: Puntos de intersección de la hipérbola con el eje transversal.

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA

-ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN (0,0): FOCOS EN (c,0); VÉRTICE EN      (a,0); EJE TRANSVERSAL A LO LARGO DEL EJE X

 

-ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN (0,0): FOCOS EN (0,c); VÉRTICE EN      (0,a); EJE TRANSVERSAL A LO LARGO DEL EJE Y

-HIPÉRBOLA CON CENTRO EN (h,k) Y EJE TRANSVERSAL PARALELO A UN EJE COORDENADO

CENTRO	EJE TRANSVERSAL	FOCOS	VERTICES	ECUACION	ASINTOTAS
(h,k)	Paralelo al eje x	(h±c,k)	(h±a,k)	(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1; b^2=c^2-a^2	y-k=±b/a(x-h)
(h,k)	Paralelo al eje y	(h,k±c)	(h,k±a)	(y-h)^2/a^2-(x-k)^2/b^2=1; b^2=c^2-a^2	y-k=±a/b(x-h)

Tomado de:Trigonometria y geometria analitica.Cuarta edicion.Michaell Sullivan.

EJERCICIO #1

LAS ANTENAS PARABÓLICAS 

Las antenas parabólicas, al igual que los radiotelescopios se rigen por el principio de la convergencia y divergencia de un haz de sonido. La dirección de este se representa mediante líneas que se denominan rayos y según la forma de la superficie en la que inciden, así será la dirección de los rayos reflejados. Cuando la forma de dicha superficie es parabólica todos los rayos que llegan paralelos al eje de la parábola se reflejan pasando por un mismo punto.

Ejemplo: 

Una antena parabólica con vértice en (1,4) concentra señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor ubicado en la posición (3,4). Halle su ecuación, la dirección del haz de sonido y grafique.

Solución:

Primer paso: La distancia a de (1,4) a (3,4)x es a= 2. Ya que el receptores encuentra a la derecha del vértice, la parábola se abre hacia la derecha así que su ecuación es: (y-k)^2= 4a(x-h) donde (h,k) = (1,4). Reemplazando:

 

Segundo paso: El vértice y el receptor se se encuentran sobre la línea horizontal y= 4 que es el eje de simetría. La dirección del haz de sonido es paralela a este.

Tercer paso: Finalmente graficamos.